NOCIONES DE GEOMETRÍA PROYECTIVA

Sabemos que la  geometría proyectiva es el estudio de las propiedades de las figuras, por lo tanto, si cortamos una rendija rectilínea en una cartulina y la iluminamos, la proyección de esta rendija es un segmento.

Del mismo modo que si iluminamos un objeto, construido por un meccano, la sombra de un segmento de recta, es un segmento de recta.

Si una línea A corta a una B en un punto X, las sombras de las líneas A y B se cortan en un punto que es la sombra del punto X. De aquí deducimos, que en la geometría proyectiva, las rectas y las intersecciones son invariantes.

Otra invariante es el orden, que se demuestra en el siguiente ejemplo: señalemos una recta los puntos A, B, y C en este orden. Comprobamos que la proyección del punto B se encuentra entre las proyecciones de los puntos A y C. Esto quiere decir, que el orden de los puntos A, B situadiy C se conserva en la proyección.

Otro concepto que debemos destacar es el de convexidad que hace intervenir el de segmento de recta. Si nos desplazamos a lo largo de una línea recta, conservamos una dirección constante; por el contrario si nos desplazamos por una línea curva, cambiamos totalmente de dirección.

Los conceptos de interior y exterior son proyectivos porque un punto interior de una figura se proyecta según el punto interior de la figura proyectada. Así los interiores son invariantes al aplicar la proyección.

Se dice que una figura cerrada es convexa si todo segmento rectilíneo que une dos puntos esta dentro de la figura.

El paralelismo no es un concepto proyectivo, sino afín. Otra concepción que se conserva en la proyección paralela es la relación de dos segmentos situados sobre rectas paralelas. Si dos segmentos paralelos están en relación 2, la relación de la longitud de sus sombras sigue siendo 2. Esto no ocurre lo mismo el la proyección puntual, pues si un foco se encuentra suficientemente cerca de la figura como para que su sombra presente las mayores distorsiones, la relación entre ambos no se conservará.